循环同调、紧交叉积与小稳定化

在 \verb|arXiv:1212.5901| 中，我们将代数 $\Gami(\fA)$ 关联到每个 bornological 代数 $\fA$，并将理想 $I_{S(\fA)}\triqui\Gami(\fA)$ 关联到每个对称理想 $S\triqui\elli$。我们证明了 $I_{S(\fA)}$ 具有与 Hilbert 空间中有界算子代数 $\cB$ 关于理想 $J_S\triqui\cB$ 的通常稳定化相似的 $K$-理论性质，其中 $J_S$ 对应于 Calkin 对应下的 $S$。在本文中，我们计算了相对循环同调 $HC_*(\Gami(\fA):I_{S(\fA)})$。利用这些计算结果及\emph{loc. cit.}的结果，我们证明了：若 $\fA$ 是一个 $C^*$-代数且 $c_0$ 为无穷远处消失序列的对称理想，则 $K_*(I_{c_0(\fA)})$ 是同伦不变的，并且当 $*\ge 0$ 时，它包含 $K^{\top}_*(\fA)$ 作为直和项。这是 Suslin-Wodzicki 定理（\cite{sw1}）的一个弱类比，该定理指出对于紧算子理想 $\cK=J_{c_0}$ 和 $C^*$-代数张量积 $\fA\sotimes\cK$，有 $K_*(\fA\sotimes\cK)=K^{\top}_*(\fA)$。类似地，我们证明了若 $\fA$ 是含幺 Banach 代数且 $\ell^{\infty-}=\bigcup_{q<\infty}\ell^q$，则 $K_*(I_{\ell^{\infty-}(\fA)})$ 在 H\"older 连续同伦下是不变的，并且当 $*\ge 0$ 时，它包含 $K^{\top}_*(\fA)$ 作为直和项。这些 $K$-理论结果源自循环同调计算。我们还用 $HC_*(\elli(\fA):S(\fA))$ 表示了任意 $\fA$ 和 $S$ 的相对循环同调群 $HC_*(\Gami(\fA):I_{S(\fA)})$。对于 $\fA=\C$ 和一般的 $S$，我们进一步用代数微分形式表示了后者。我们证明了在许多情况下，映射 $HC_n(\Gami(\C):I_{S(\C)})\to HC_n(\cB:J_S)$ 是一个同构。