拓扑空间中的切分博弈

我们研究 $T_0$ 空间上的超限切分博弈，引入了作为序数值不变量的点分离数 $ps(X)$ 和集合隶属数 ${sm}(X)$，用于度量寻找者能够确定隐藏点或子集的博弈的最小长度。一个核心的动机问题是哪些可数序数可以作为 $ps(X)$ 的值出现，特别是是否任何可数序数都能产生。这些不变量推广了 Scott 的 $T_0$-伪权 $\psi w_0$。我们建立了关联 $ps(X)$、${sm}(X)$、$\psi w_0(X)$ 和 $|X|$ 的基本不等式，包括精确界 $|X|\le 2^{ps(X)}$ 和 $\psi w_0(X)\le 2^{<ps(X)}$。我们计算了熟悉空间（如 Cantor 立方、Alexandroff 双箭头空间的幂以及基数的某些平稳子集）的这些不变量。我们进一步研究了它们在拓扑和与积下的行为，揭示了 $ps$ 和 ${sm}$ 之间的鲜明对比。对于度量空间，我们确定 $ps(X)=\log|X|$。然而，我们不知道 ${sm}(X)$ 的此类计算；我们只能断言 ${sm}(X)$ 可以任意大。最后，我们强调另一个开放问题：这些博弈是否总是确定的。