尖点五次曲面及满足 $p_g=0,$ $K^2=3$ 且具有 5-挠率的曲面

如果 $S$ 是 $\mathbb P^3$ 中的一个五次曲面，其奇异点集由 $15$ 个 $3$-可整除的普通尖点组成，则存在一个仅在尖点处分支的 Galois 三重覆盖 $\phi:X\to S$，使得 $p_g(X)=4,$ $q(X)=0,$ $K_X^2=15$，且 $\phi$ 是 $X$ 的典范映射。我们利用计算机代数搜索具有 $\mathbb Z_5$ 自由作用的此类五次曲面，使得 $X/{\mathbb Z_5}$ 是一个满足 $p_g=0$ 和 $K^2=3$ 的光滑极小一般型曲面。我们找到了两个不同的五次曲面，其中一个是 Van der Geer--Zagier 五次曲面，另一个是新的。我们还构造了一个穿过 Igusa 四次曲面 $15$ 条奇异线的五次三维流形，并在该处拥有 $15$ 条尖点线。通过取切超平面截面，我们计算了奇异点集分别为 $17\mathsf A_2$、$16\mathsf A_2$、$15\mathsf A_2+\mathsf A_3$ 和 $15\mathsf A_2+\mathsf D_4$ 的五次曲面。