三次椭圆哈密顿向量场的三次扰动

本文旨在研究单参数扰动平面哈密顿向量场 $X_\varepsilon$ $$X_\varepsilon : \left\{ \begin{array}{llr} \dot{x}=\;\; H_y+\varepsilon f(x,y)\ \dot{y}=-H_x+\varepsilon g(x,y), \end{array} \;\;\;\;\; H~=\frac{1}{2} y^2~+U(x) \right.$$ 的极限环，这些极限环从 $X_0$ 的周期环面分岔而来，其中 $\varepsilon$ 充分小。此处 $U$ 是一个无对称性的四次单变量多项式，$f, g$ 是两个变量的任意三次多项式。我们选取一个周期环面，并通过哈密顿量值 $h$ 和小参数 $\varepsilon$ 对相关的位移映射 $d(h,\varepsilon)$ 进行参数化。设 $M_k(h)$ 为其关于 $\varepsilon$ 展开式中的第 $k$ 个系数。我们建立了 $M_k$ 的一般形式并研究了其零点。我们推导出，对于充分小的 $\varepsilon$，$X_0$ 的周期环面在内部八字环情形、鞍点环情形和外部八字环情形下分别最多产生 5、7 或 8 个零点。在内部八字环情形下该界是精确的，而在鞍点环情形下，我们提供了产生 6 个小振幅极限环的哈密顿向量场示例。此外还研究了 $X_0$ 的更高次多项式扰动。