十字形区域与 Di Francesco 的一个猜想

Di Francesco 近期的一个猜想指出，正方形格点上某类区域的骨牌铺砌数由一个乘积公式给出，该公式令人联想到给出交错符号矩阵数的那个公式。这些记为 ${\mathcal T}_n$ 的区域，是由边长为 $2n$ 的正方形出发，沿对角线用步长为 2 的锯齿路径将其切成两半，再将一个 $n-1$ 阶阿兹特克钻石的一半粘到其中一块区域上而得到。受区域 ${\mathcal T}_n$ 的启发，我们构造了一族推广阿兹特克钻石的十字形区域 $C_{m,n}^{a,b,c,d}$，并证明它们的骨牌铺砌数由一个简单的乘积公式给出。由于（由我们的结果可知）${\mathcal T}_n$ 的骨牌铺砌数是十字形区域 $C_{2n-1,2n-1}^{n-1,n,n,n-2}$ 铺砌数的一个因子，我们公式对应于后者的特例可视为证明 Di Francesco 猜想的部分进展。