多米诺砖块、多米诺洗牌与 Nabla 算子

我们研究了由分区 $\lambda$ 索引的某些区域 $R_\lambda$ 上的多米诺砖块，按广义面积和 dinv 统计加权。这些统计量源自 $q,t$-Catalan 组合和 Macdonald 多项式。我们给出这些多米诺砖块生成多项式的公式，表述为 Bergeron--Garsia nabla 算子。当 $\lambda = (n^n)$ 为方形时，$R_\lambda$ 上的多米诺砖块等价于 Aztec 金字塔的 order $n$ 上的多米诺砖块。在这种情况下，我们给出由多米诺洗牌得到的多项式的新型乘积公式，并讨论其与交错符号矩阵的联系。特别地，我们获得了广义面积和 dinv 统计量联合对称性的组合论证明。