四维及更高维中的多米诺骨牌平铺与翻转

本文考虑维数 $n \geq 4$ 时有界区域的多米诺骨牌平铺。我们定义了此类平铺的 twist，它是 ${\mathbb{Z}}/(2)$ 中的一个元素，并证明其在翻转（平铺空间中一种简单的局部变换）下不变。我们研究哪些区域 $D$ 是正则的，即只要 $D \times [0,N]$ 的两个平铺 $t_0$ 与 $t_1$ 具有相同的 twist，则在允许额外垂直空间的前提下，$t_0$ 与 $t_1$ 可通过一系列翻转相连。我们证明除 $D = [0,2]^3$ 外所有盒子都是正则的。此外，给定正则区域 $D$，我们证明存在仅依赖于 $D$ 的值 $M$，使得若 $t_0$ 与 $t_1$ 是 $D \times [0,N]$ 上 twist 相同的平铺，则相应平铺可在 $D \times [0,N+M]$ 中由有限次翻转序列相连。作为推论，我们推得对于正则 $D$ 和大的 $N$，$D \times [0,N]$ 的平铺集合在翻转下有两个孪生巨连通分支，分别对应 twist 的每个取值。