三维区域的多米诺骨牌铺砌

在本论文中，我们考虑三维区域的多米诺骨牌铺砌，特别是形如 $\mathcal{D} \times [0,N]$ 的区域。具体而言，我们研究了此类区域铺砌空间通过翻转（flips）形成的连通分量，其中翻转是一种局部操作，即移除两个相邻的多米诺骨牌并将其以唯一可能的另一种位置放回。对于形如 $\mathcal{D} \times [0,2]$ 的区域，我们定义了一个多项式不变量 $P_t(q)$，用于刻画在某种意义上“几乎处于同一连通分量”的铺砌。我们还证明了此类区域的多米诺骨牌铺砌空间通过翻转和三连换（trits）是连通的，其中三连换是一种局部操作，即移除三个相邻且互不平行的多米诺骨牌并将其以唯一可能的另一种位置放回。对于一般情况，该不变量是一个整数，称为扭转数（twist），我们给出了其简单的组合公式并通过纽结理论进行了解释；我们还证明了扭转数对于区域的适当分解具有可加性。最后，我们研究了 $L \times M \times N$ 盒子铺砌的扭转数可能取值范围。