边界凹痕、北极圆与北极椭圆
组合数学
2023-09-26 v2 统计力学
数学物理
math.MP
摘要
本文最初的动机可追溯到20世纪90年代中期，当时James Propp对这样一种自然情形感兴趣：当区域中某些单位方格被删去时，该区域的多米诺骨牌铺砌数反而增加。部分受早期关于带孔区域铺砌数与相应电荷系统的二维库仑能量之间类比工作的直觉引导，我们考虑在两条相邻边上带有单位方格缺陷的阿兹特克菱形区域。我们证明，对于大区域，若这些缺陷距某一角点为固定距离，则带缺陷阿兹特克菱形的多米诺骨牌铺砌数与完整阿兹特克菱形铺砌数之比趋近于一个Delannoy数。当缺陷位置不固定，而是趋近于阿兹特克菱形缩放极限（一个正方形）边界上的给定点时，我们证明：只要连接这些点的线段位于的内切圆之外，该比值就具有与缺陷位置对应的Delannoy数相同的渐近性；若线段穿过该圆，则渐近性截然不同。由此我们推断（在假设存在北极曲线的前提下），阿兹特克菱形多米诺骨牌铺砌的北极曲线即为的内切圆。我们还讨论了六边形冰糕铺砌中该现象的对应情形。
引用
@article{arxiv.2308.06863,
title = {Boundary dents, the arctic circle and the arctic ellipse},
author = {Mihai Ciucu and Christian Krattenthaler},
journal= {arXiv preprint arXiv:2308.06863},
year = {2023}
}
备注
38 pages