有限阿贝尔群的交叉数不变量

有限阿贝尔群 $G$ 上序列的交叉数是该序列各项逆阶之和。我们研究两个群不变量：由 Krause 引入的 $G$ 上零和自由序列的最大交叉数，记为 $\mathsf{k}(G)$；以及由 Gao 和 Wang 引入的 $G$ 上唯一分解序列的最大交叉数，记为 $K_{1}(G)$。关于 $\mathsf{k}(G)$ 和 $\mathsf{K}_{1}(G)$ 的猜想公式已知，但仅对某些特例得到了证明。我们展示了关于最大交叉数序列的结构结果，据此证明了一个归纳定理，给出了若猜想值对群 $G$ 成立，则对 $G\oplus C_{p^{\alpha}}$ 也必须成立的条件。作为该结果的推论，我们在 $n$ 的素因子相距较远的前提下，证明了循环群 $C_{n}$ 的 $\mathsf{k}(G)$ 和 $\mathsf{K}_{1}(G)$ 的猜想值。我们的方法还证明了形如 $C_{n}\oplus C_{q}$ 的秩二群的 $\mathsf{K}_{1}(G)$ 猜想，其中 $q$ 是整除 $n$ 的最大或次大素数且 $n$ 的素因子相距较远；以及形如 $C_{n}\oplus H_{q}$ 的群的 $\mathsf{k}(G)$ 猜想，其中 $n$ 的素因子相距较远，$q$ 是 $n$ 的最大素因子，$H_{q}$ 是任意有限阿贝尔 $q$-群。最后，我们提出了一个关于初等 $p$-群上最大长度唯一分解序列结构的猜想，这是将 $\mathsf{K}_{1}$ 猜想推广到更高秩群的主要障碍，并提出了一个关于任意加权函数下最大零和自由序列和唯一分解序列结构的一般性问题。