$\mathbb{Z}^2$ 上各向异性渗流系统的临界标度

在本文中，我们考虑 $\mathbb{Z}^2$ 上的一个各向异性有限程键渗流模型。在每个水平层 $\{(x,i): x \in \mathbb{Z}\}$ 上，对于 $1 \leq |x - y| \leq N$ 我们有边 $\langle(x, i),(y, i)\rangle$。还有连接不同层上两个最近邻顶点的竖直边 $\langle(x, i), (x, i+1)\rangle$，其中 $x, i \in\mathbb{Z}$。在此图上我们考虑如下各向异性独立渗流模型：水平边以概率 $1/(2N)$ 开放，而竖直边以概率 $\epsilon$ 开放，且 $\epsilon$ 随 $N$ 趋于无穷而适当调节。主要结果表明，若 $\epsilon=\kappa N^{-2/5}$，我们在 $\kappa$ 中看到相变：存在正且有限的常数 $C_1, C_2$，使得当 $\kappa < C_1$ 时无渗流，而当 $\kappa > C_2$ 时发生渗流。该问题受限于平均场临界温度下的类比分层铁磁伊辛模型的结果 [J. Stat. Phys. (2015), 161, 91-123] 的启发，其中作者证明了对于固定值的竖直相互作用存在多个吉布斯测度，并猜想当竖直相互作用以 $\kappa\gamma^b$ 适当消失时 $\kappa$ 中行为发生改变，其中 $1/\gamma$ 为水平相互作用的程长。对于乘积渗流模型，我们的 $b$ 值与那篇论文中猜想的不同。证明依赖于对限制在每个水平层上的生长过程起主导作用的临界分支随机游走的标度极限的分析，以及对真实水平生长过程的细致分析。这受限于长程接触过程的工作 [Probab. Th. Rel. Fields (1995), 102, 519-545] 的启发。对于渗流区域使用了重正化方案。