具有O(n)对称性破缺二次边界项的$n$分量$\phi^4$模型的临界Casimir振幅

在厚度为$L$的薄膜中研究了哈密顿量除二次对称性破缺边界项外具有O(n)对称性的欧几里得$n$分量$\phi^4$理论。边界项意味着在$z=0$和$z=L$处的边界平面$\mathfrak{B}_{j=1,2}$上满足Robin边界条件$\partial_n\phi_\alpha =\mathring{c}^{(j)}_\alpha \phi_\alpha$。特别关注了$n$个变量$\mathring{c}^{(j)}_\alpha$中的$m_j$个取对应于临界增强的特殊值$\mathring{c}_{m_j\text{-sp}}$而其余为次临界增强的情况。在这些条件下，由$\mathfrak{B}_j$界定的半无限系统具有一个多临界点，称为$m_j$-special点，在该点处，只要$d$足够大，一个$O(m_j)$对称的临界表面相与O(n)对称的体相共存。在体临界点处，约化自由能每面积的$L$依赖部分在$L\to\infty$时表现为$\Delta_C/L^{d-1}$。在一般情形下确定了小$\epsilon=4-d$的Casimir振幅$\Delta_C$，其中$m_{c,c}$个分量$\phi_\alpha$在两个边界平面均被临界增强，$m_{c,D} + m_{D,c}$个分量在一个平面被增强但在另一个平面满足渐近Dirichlet边界条件，而剩余的$m_{D,D}$个分量在两个$\mathfrak{B}_j$均满足渐近Dirichlet边界条件。每当$m_{c,c}>0$时，这些展开涉及整数和分数幂$\epsilon^{k/2}$，其中$k\ge 3$（含对数项）。对于$m_{c,c}$、$m_{c,D}+m_{D,c}$和$m_{D,D}$的一般值，$O(\epsilon^{3/2})$的结果被用于估计当$(m_{c,c}, m_{c,D}+ m_{D,c}) = (1,0)$、$(0,1)$和$(1,1)$时具有表面自旋各向异性的3D Heisenberg系统的$\Delta_C$。