双选择规则的临界行为：一类 Achlioptas 过程

Achlioptas 过程是一类动态增长的随机图，其中每一步随机选取若干边但仅添加其中一条。求和规则、乘积规则与有界大小规则已被广泛研究。本文引入一类称为双选择规则的新规则。在此类系统中，首先从图中随机选取 $m$ 个顶点，并依据基于其簇大小的某种规则选出一个顶点 $v$。然后以第二个独立样本重复该过程以选出顶点 $v'$，并添加一条从 $v$ 到 $v'$ 的边。这些系统是可处理的，因为簇大小分布满足 Smoluchowski 方程的一个类比。我们研究了其中五个模型的相变临界指数。与 $d$ 维渗流的情形相反，我们证明若已知 $\beta$（与巨分支大小相关的指数），则所有临界指数均可计算。当 $\beta=1$ 时，所有临界指数均与 \ER 图相同。