通过具有唯一解的微分方程研究 Achlioptas 过程的收敛性

在 Achlioptas 过程中，从空图开始，每一步随机均匀地选取两条潜在边，并使用某种规则选定其中一条将其加入演化图中。这类 Erdős–Rényi 随机图过程变体中最大连通分量缩放后尺寸的演化近期受到了广泛关注，特别是 Bollobás 的“乘积规则”。在本文中，我们针对乘积规则等规则建立了如下结果：只要某特定的微分方程组具有唯一解，则“巨”分量缩放后尺寸的极限存在且连续。事实上，我们的结果适用于非常广泛的一类类 Achlioptas 过程。我们的证明依赖于一个将随机过程的演化与相关联的微分方程组联系起来的一般性思想。只要后者具有唯一解，我们的方法即可证明某些离散量（在适当缩放后）收敛于该解。