在 Achlioptas 过程中避免小子图

对于固定的整数 $r$，考虑以下随机过程：在每一轮中，从 $n$ 个顶点的完全图的边集中随机呈现 $r$ 条边，并要求选择其中一条。被选中的边被收集到一个图中，该图从而以每轮一条边的速率增长。这是文献中称为 Achlioptas 过程（原始版本中 $r=2$）的自然推广，许多研究人员对此进行了研究，主要集中在延迟或加速巨分量的出现上。在本文中，我们研究了 Achlioptas 过程中的小子图问题。即，给定一个固定图 $H$，我们研究是否存在一种在线算法，与随机图 $G(n, M)$ 中的出现阈值相比，能够显著延迟或加速 $H$ 的典型出现。显而易见，任何固定图的出现都无法被加速超过常数因子 $r$，因此我们专注于避免 $H$ 的任务。我们确定了在所有参数 $r \ge 2$ 的 Achlioptas 过程中避免所有圈 $C_t$、团 $K_t$ 和完全二部图 $K_{t,t}$ 的阈值。