球面与双曲空间中的临界行为

我们研究了弯曲背景几何对标量场理论临界行为的影响。特别地，我们集中于两种最大对称空间：$d$维球面和双曲面。在本文的第一部分，通过应用金兹堡判据 (Ginzburg criterion)，我们发现对于大关联长度，高斯近似在任何维度 $d\geq 2$ 的双曲面上均有效，而在任何维度的球面上则不可靠。这可以通过谱维数和豪斯多夫维数等各种有效维度的概念来理解。在本文的第二部分，我们应用功能重整化群方法来发展对此类现象的不同视角，并从重整化群分析中推导它们。利用局域势近似，我们讨论了重整化群方程中存在固定尺度的后果。特别地，我们表明在球面情况下不存在真正的相变，因为对称性恢复总是发生在在大尺度上。在双曲面情况下，相变仍然存在，但由于唯一的真正不动点是高斯不动点，平均场指数在低于四维的维度中也有效。