马尔可夫算子谱间隙的判据

设 $(E,\mathcal F,\mu)$ 是一个概率空间，$P$ 是 $L^2(\mu)$ 上的马尔可夫算子，且 $1$ 是简单特征值，满足 $\mu P=\mu$（即 $\mu$ 是 $P$ 的不变概率测度）。则 $\hat P:=\frac12 (P+P^*)$ 具有谱间隙，即 $1$ 在 $\hat P$ 的谱中是孤立的，当且仅当 $$\|P\|_\tau:=\lim_{R\to\infty} \sup_{\mu(f^2)\le 1}\mu\big(f(Pf-R)^+\big)<1.$$ 这加强了 Simon 和 Høegh-Krohn 关于超有界算子谱间隙的一个猜想，该猜想最近由 L. Miclo 在文献 \cite{M} 中解决。因此，对于 $L^2(\mu)$ 上的对称、保守、不可约 Dirichlet 型，庞加莱/对数索伯列夫型不等式成立当且仅当相应的缺陷不等式成立。还给出了对次马尔可夫算子和非保守 Dirichlet 型的推广。