覆盖理论、函子范畴与 Krull-Gabriel 维数

假设 $K$ 是代数闭域，$R$ 是局部有界 $K$-范畴，$G$ 是 $R$ 的可容许 $K$-线性自同构群，$F:R\rightarrow A$ 是 Galois $G$-覆盖函子。在论文第一部分，我们证明了 $KG(R)\leq KG(A)$，其中 $KG$ 表示 Krull-Gabriel 维数。该结果通过发展函子范畴的 Galois 覆盖理论得到证明，后者基于一般张量积双函子的存在性。我们将此理论理解为沿下推函子 $F_{\lambda}:\mathcal{R}\rightarrow\mathcal{A}$（其中 $\mathcal{R}=mod(R)$，$\mathcal{A}=mod(A)$ 且 $(F_{\lambda})_{\bullet}=(-)\circ F_{\lambda}$）的上拉函子 $\Psi=(F_{\lambda})_{\bullet}:MOD(\mathcal{A})\rightarrow MOD(\mathcal{R})$ 的左、右伴随函子 $\Phi,\Theta:MOD(\mathcal{R})\rightarrow MOD(\mathcal{A})$ 的理论。在 $F_{\lambda}$ 稠密的情况下，$\Phi$ 和 $\Theta$ 是经典下推函子的自然推广。一般地，$\Phi$ 和 $\Theta$ 限制于有限表示函子范畴 $\mathcal{F}(R),\mathcal{F}(A)$，且限制后的函子重合。在论文第二部分，我们证明 $\Phi:\mathcal{F}(R)\rightarrow\mathcal{F}(A)$ 是函子范畴的 Galois $G$-预覆盖。接着我们考虑 $R$ 为单连通局部表示有限的重要特例。此时 $\Phi$ 可借助经典覆盖理论进行研究，从而给出 $\Phi$ 不稠密的例子。这证明了引入第一类和第二类函子（沿用 Dowbor 和 Skowro\'nski 的术语）的合理性。在论文最后部分，我们给出结果的特殊应用。最后但同样重要的是，我们讨论了对 M. Prest 猜想的应用，该猜想将代数的 Krull-Gabriel 维数与其表示型联系起来。