基于 Kronecker 预条件优化的多物理场物理信息神经网络的耦合鲁棒精度

用于耦合多物理场系统的物理信息神经网络（PINN）会随着方程间耦合增强而出现系统性的精度退化。我们通过神经正切核（NTK）分析为这一现象提供了理论解释：对于线性耦合系统，我们证明了标准 NTK 的谱半径随耦合强度 $\gamma$ 以 $\Omega(\gamma^2)$ 增长，从而缩小了稳定学习率；而块对角 Gauss--Newton（GN）预条件产生了预条件 NTK $K_P = J H^{+} J^\top$（其中 $H$ 为块对角 GN Hessian 矩阵），其谱半径以 $S$（$S$ 为网络数量）为界，与 $\gamma$ 无关。我们在对称、非对称和非线性耦合 PDE 系统中数值验证了 $\Omega(\gamma^2)$ 的增长，并在所有情况下确认 $\lambda_{\max}(K_P) = S$ 成立。将 Kronecker 预条件优化器 SOAP 与逆梯度范数损失平衡相结合（SOAP+GN），实现了耦合鲁棒的精度：在涵盖非线性程度递增的三个一维系统和一个二维电渗流基准的 234 项实验中，即使耦合参数变化一至两个数量级，SOAP+GN 仍保持最终 epoch 的 $L_2$ 退化 $\leq 1.1\times$（强耦合与弱耦合误差之比），而 Adam+GN 的该比值 $> 10^2\times$。SOAP+GN 进一步扩展至 EDL 解析条件下的二维 6-PDE 电渗流系统——所有先前的 PINN 电动力学研究均通过简化物理模型而回避了该体制——在此系统中 Adam+GN 完全失败（$L_2 > 0.9$）。