统计具有给定出度的平面树与 $k$-叉树中的顶点数

我们统计了具有给定出度的平面树和 $k$-叉树中的顶点数量，并证明了在所有具有 $n$ 条边的平面树中，出度为 $i$ 的顶点总数为 ${2n-i-1 \choose n-1}$，而在所有具有 $n$ 条边的 $k$-叉树中，出度为 $i$ 的顶点总数为 ${k\choose i}{kn\choose n-i}$。对于这两个结果，我们分别给出了双射证明和生成函数证明。