T 深度为一的酉矩阵计数

我们证明 $n$ 量子位上 T 深度为一的酉矩阵数目为 $\sum_{m=1}^{n}\tfrac{1}{m!}\prod_{k=0}^{m-1}(4^n/2^k - 2^k) \times \# \mathcal{C}_n,$，其中 $\#\mathcal{C}_n$ 是 $n$ 量子位 Clifford 群的大小，即 T 深度为零的酉矩阵数目。$n$ 量子位上 T 深度为一的酉矩阵数目以 $2^{\Omega(n^2)} \cdot \# \mathcal{C}_n$ 增长。