任意 Clifford+T 电路可通过常数 T 深度开销实现控制

由于由 CNOT 门组成的 n 量子比特电路最多可包含 $\Omega(n^2/\log{n})$ 个 CNOT 门，自然会期待需要 $\Omega(n^2/\log{n})$ 个 Toffoli 门来实现此类电路的受控版本。我们表明，Toffoli 计数可降至至多 n。Toffoli 深度也可以降至 O(1)，代价是 2n 个 Toffoli 门，即使不使用任何辅助 qubit 或测量。在事实上，通过一种基于测量的反向计算，Toffoli 深度可进一步降至 1。从此，我们给出两个推论：任何受控 Clifford 电路可在 O(1) T 深度下实现，任何 T 深度为 D 的 Clifford+T 电路可在不使用辅助 qubit 的情况下以 T 深度 O(D) 实现控制。作为一个应用，我们展示如何使用一个通用的 $\lceil\log_2(8/\epsilon)\rceil$-量子比特催化剂状态，以在 T 深度恰好为 1 的情况下对任意角度进行旋转，精度为 $\epsilon$。