有限域上驯顺 $SL_3$- 和 $SL_4$- 弗里兹图案的计数

在本文中，我们计算了有限域 $K$ 上宽度为 $w$ 的驯顺 $SL_3$- 和 $SL_4$-弗里兹图案的数量，以及一些更高 $k$ 的驯顺 $SL_k$-弗里兹图案。令 $n = w + k + 1$。我们考虑射影空间 $\mathbb{P}^{k-1}(K)$ 中 $n$ 个点的元组集合 $C_k(n)$，使得任意 $k$ 个连续点总是线性无关的（元组中的第一个和最后一个点被认为是连续的）。首先假设 $\gcd(k,n) = 1$。在这种情况下，我们证明了计数驯顺 $SL_k$-弗里兹图案的问题可以归结为计数 $C_k(n)$。我们还表明，只要 $k$ 和 $n$ 互质，$\lvert C_k(n) \rvert$ 基本上是已知的，并由此推导出该情况下驯顺 $SL_k$-弗里兹图案的数量。在 $\gcd(k,n) \neq 1$ 的情况下，我们定义了某些子集 $C_k^*(n)$，并证明计数这些集合就足够了。随后，我们在 $k = 3$ 和 $k = 4$ 的情况下计算了 $C_k^*(n)$，从而得到了任意宽度 $w$ 的驯顺 $SL_3$- 和 $SL_4$-弗里兹图案的数量。