计数矩形及 $F_p^3$ 中抛物面的改进限制估计

给定 $A \subset F_{p}^2$ 为素数剩余域上平面中充分小的集合，我们证明以 $A$ 中点为顶点的矩形至多有 $O_\epsilon (|A|^{\frac{99}{41}+\epsilon})$ 个。指数 $\frac{99}{41} = 2.413\ldots$ 较 Rudnev 与 Shkredov 所得指数 $\frac{17}{7} = 2.428\ldots$ 略有改进。利用该估计，我们证明素数阶域中三维抛物面的扩张算子将 $L^2 \rightarrow L^{r}$ 映射于 $r >\frac{188}{53}=3.547\ldots$，改进了先前 $r\geq \frac{32}{9}= 3.\overline{555}$ 的范围。