计数矩阵代数与经典单李代数上的精细分级

已知的分类结果使我们能够找到代数闭域 $\mathbb{F}$ 上矩阵代数和经典单李代数上（等价类）精细分级的数量（在李代数情形下假设 $\mathrm{char} \mathbb{F}\ne 2$）。对于矩阵代数，特别是 $B_r$ 型单李代数，计算较为简单（答案仅为 $r+1$），但在 $A$、$C$ 和 $D$ 系列的情形下涉及计数某些有限群的轨道。对于 $X\in\{A,C,D\}$，我们确定了 $r\le 100$ 的 $X_r$ 型单李代数上精细分级的确切数量 $N_X(r)$，以及大 $r$ 时平均值 $\hat N_X(r)$ 的渐近行为。特别地，我们证明了存在正常数 $b$ 和 $c$，使得 $\exp(br^{2/3})\le\hat N_X(r)\le\exp(cr^{2/3})$。矩阵代数 $M_n(\mathbb{F})$ 的类似平均值被证明为 $a\ln n+O(1)$，其中 $a$ 是依赖于 $\mathrm{char} \mathbb{F}$ 的显式常数。