态射之和的核逆与对偶核逆

设 $\mathscr{C}$ 是一个带有对合 $\ast$ 的加性范畴。假设 $\varphi : X \rightarrow X$ 是 $\mathscr{C}$ 的一个具有核逆 $\varphi^{\co} : X \rightarrow X$ 的态射，$\eta : X \rightarrow X$ 是 $\mathscr{C}$ 的一个态射，使得 $1_X+\varphi^{\co}\eta$ 可逆。令 $\alpha=(1_X+\varphi^{\co}\eta)^{-1},$ $\beta=(1_X+\eta\varphi^{\co})^{-1},$ $\varepsilon=(1_X-\varphi\varphi^{\co})\eta\alpha(1_X-\varphi^{\co}\varphi),$ $\gamma=\alpha(1_X-\varphi^{\co}\varphi)\beta^{-1}\varphi\varphi^{\co}\beta,$ $\sigma=\alpha\varphi^{\co}\varphi\alpha^{-1}(1_X-\varphi\varphi^{\co})\beta,$ $\delta=\beta^{\ast}(\varphi^{\co})^{\ast}\eta^{\ast}(1_X-\varphi\varphi^{\co})\beta.$ 则 $f=\varphi+\eta-\varepsilon$ 有核逆当且仅当 $1_X-\gamma$、$1_X-\sigma$ 和 $1_X-\delta$ 可逆。此外，给出了 $f$ 的核逆的表达式。设 $R$ 是一个含幺 $\ast$-环，$J(R)$ 为其Jacobson根，若 $a\in R^{\co}$ 具有核逆 $a^{\co}$ 且 $j\in J(R)$，则 $a+j\in R^{\co}$ 当且仅当 $(1-aa^{\co})j(1+a^{\co}j)^{-1}(1-a^{\co}a)=0$。我们也给出了对偶核逆的类似结果。