与 Itô 扩散重要性采样相关的随机控制泛函的凸性

我们考虑罕见事件重要性采样问题，其中感兴趣的随机变量是 Itô 扩散在首次退出 $d$ 维有界域之前计算的路径泛函。Dupuis 和 Wang (\textit{Ann. Appl. Probab.}, 15 (2005), pp. 1-38) 通过将重要性采样问题表述为随机最优控制问题来研究该问题，其中值函数与随机变量的条件累积量生成函数相关。在本文中，我们证明了值函数在域闭包上二次可微且 $\alpha$-一致 Hölder 连续的充分条件，也是控制泛函在可微、$\alpha$-一致 Hölder 连续的 $\mathbb{R}^d$ 值反馈控制空间上第二变分正定的充分条件。我们利用 Kazamaki 关于指数鞅 $L^q$ 有界性的充分条件推导了第二变分的表达式，并使用 Fredholm 理论证明了首次退出时间在任何包含原点的有界区间上的矩生成函数的有限性。该严格凸性结果表明，可以通过结合凸优化与蒙特卡洛方法，以维度鲁棒的方式求解相应的 Hamilton-Jacobi-Bellman 边值问题。我们将该结果应用于分析 Hartmann 和 Schütte (\textit{J. Stat. Mech. Theor. Exp.} (2012), P11004) 提出的用于高效罕见事件模拟的梯度下降算法。