随机游走的凸包、超平面排列与Weyl腔

在随机游走的增量分布为中心对称且不在仿射超平面上赋予质量的假设下，我们给出了$R^d$中$n$步随机游走的凸包不包含原点的概率的显式公式。这推广了Sparre Andersen (1949) 关于一维此类随机游走保持为正的概率的公式。我们的结果是分布无关的，即概率不依赖于增量分布。该概率问题被证明等价于以下两个几何问题之一：1) 求$R^n$中余维度为$d$的一般线性子空间所交的$B_n$型Weyl腔的数目；2) 求$B_n$型Weyl腔的圆锥内禀体积。我们利用超平面排列理论解决了第一个几何问题。我们方法的一个副产品是对Klivans和Swartz (2011) 一般公式的新简证，该公式将线性超平面排列的特征多项式系数与其补集所构成腔的圆锥内禀体积联系起来。我们得到了$A_{n-1}$型Weyl腔（给出一般随机游走桥的凸包吸收原点的概率）、$D_n$型以及Weyl腔直积（给出若干随机游走或桥的联合凸包的吸收概率）的类似分布无关结果。形如$B_1\times \dots \times B_1$的乘积的最简单情形恢复了Wendel公式 (1962)，该公式给出从中心对称分布中选取的i.i.d.多维样本的凸包不包含原点的概率。我们还对当$n \to \infty$时，在固定和递增维度$d$两种情况下所得吸收概率进行了渐近分析。