凸熵、Hopf 分岔以及粘性与无粘激波稳定性

我们结合解析与数值技术，探讨了关于无粘与粘性稳定性之间关系以及凸熵存在性的一些基本问题。具体而言，对于具有凸熵的系统，特别是具有凸状态方程的气体动力学方程，我们提出以下问题：(i) 是否可能发生无粘不稳定性？(ii) 是否可能出现无粘理论未能检测到的粘性不稳定性？(iii) 是否可能出现必然属于粘性效应的 Hopf 分岔，即“跳跃不稳定性”？以及，或许从实际角度最为重要的是，(iv) 当激波振幅从（稳定的）小振幅极限增加时，是否可能出现首次从无粘理论未能检测到的粘性稳定性到不稳定性的转变？我们表明，对于具有某些凸状态方程的严格双曲、真正非线性气体动力学，(i) 确实会发生；而对于一个人工构造的具有凸且与粘性相容的熵的系统，(ii) 和 (iii) 确实会发生。我们尚不知晓 (iv) 发生的实例，因此将其作为粘性激波理论中的一个关键开放问题留下，该问题与 Sturm-Liouville 算子及相关算子的主特征值性质有关。类比于并部分借鉴 Smith 关于 Riemann 问题（非）唯一性的分析，我们以状态方程上的必要和充分条件形式，获得了便于使用的激波（不）稳定性判据。