均匀三角剖分在 Cardy 嵌入下的收敛性

我们考虑一种将平面地图嵌入到等边三角形 $\Delta$ 中的方法，称之为 Cardy 嵌入。该嵌入是基于 Smirnov 证明 Cardy 公式时所用的渗流观测量的共形映射的离散逼近。在 Cardy 嵌入下，平面地图在 $\Delta$ 上诱导出度量与面积测度，并在 $\partial \Delta$ 上诱导出边界测度。我们证明，对于均匀采样的三角剖分，该度量与这些测度在尺度极限下联合收敛到共形嵌入 $\Delta$ 中的布朗圆盘（即 $\sqrt{8/3}$-Liouville 量子引力圆盘）。作为证明的一部分，我们以淬火意义下证明了均匀三角剖分上临界点渗流的尺度极限结果。特别地，我们建立了具有四个边界标记点的均匀采样三角剖分的渗流穿越概率的尺度极限。