沿 N 中一致表现序列在每点的时间平均收敛性

我们定义 ${\mathbb N}$ 中一致表现的算术序列 ${\bf a}$ 与 ${\bf a}$-平均 Lyapunov 稳定动力系统 $f$。我们考虑连续函数 $\phi$ 沿 $f$ 的 ${\bf a}$-轨道至 $N$ 的时间平均。本文证明的主要结果是：若 ${\bf a}$ 在 ${\mathbb N}$ 中一致表现且 $f$ 极小、唯一遍历且 ${\bf a}$-平均 Lyapunov 稳定，则该部分时间平均对空间中每一点收敛。此外，若 ${\bf a}$ 还完全可加，我们进而证明连续函数 $\phi$ 沿 $f$ 的无平方 ${\bf a}$-轨道至 $N$ 的时间平均也对空间中每一点收敛。所有等度连续动力系统对任意序列 ${\bf a}$ 均为 ${\bf a}$-平均 Lyapunov 稳定。当 ${\bf a}$ 为具有正下密度的 ${\mathbb N}$ 子序列时，我们给出两个非平凡的 ${\bf a}$-平均 Lyapunov 稳定动力系统例子。我们给出若干 ${\mathbb N}$ 中一致表现序列的例子，包括自然数中素因子的计数函数、由 Thue-Morse（或 Rudin-Shapiro）序列索引的自然数子序列，以及偶（或奇）素因子自然数序列。我们还表明无平方自然数序列（或偶（或奇）素因子无平方自然数序列）在 ${\mathbb N}$ 中旋转分布但不在 ${\mathbb Z}$ 中一致分布，从而在 ${\mathbb N}$ 中不一致表现。我们由主要结果导出与数论及遍历理论/动力系统相关的其他推论。