Conley 定理的随机情形 II：完全 Lyapunov 函数

Conley 在\cite{Con} 中为紧致度量空间上的流构造了一个完全 Lyapunov 函数，该函数在链回归集内的轨道上为常数，而在链回归集外的轨道上严格递减。这表明动力学复杂性集中于链回归集，而链回归集外的动力学行为相当简单。本文在基空间 $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ 为赋予概率测度的可分度量空间的假设下，对随机动力系统获得了类似结果。通过构造一个在随机链回归集内的轨道上为常数、在随机链回归集外的轨道上严格递减的完全 Lyapunov 函数，得到了动力系统基本定理的随机情形。此外，这一关于随机动力系统的结果被推广到了非紧状态空间。