稀疏情形下持续图的收敛性

本文旨在考察与Čech过滤相关的持续图的渐近行为。持续图是几何对象拓扑与代数结构的图形描述符。我们考虑缩放随机样本 $r_n^{-1}\mathcal X_n = \{ r_n^{-1}X_1,\dots, r_n^{-1}X_n \}$ 上的Čech过滤，其中 $r_n\to 0$ 当 $n\to\infty$。我们将持续图视为点过程，并在稀疏情形 $nr_n^d\to0$、$n\to\infty$ 下建立其极限定理。在此设定中，我们表明第 $k$ 个持续图的渐近依赖于序列 $n^{k+2}r_n^{d(k+1)}$ 的极限值。若 $n^{k+2}r_n^{d(k+1)} \to \infty$，则缩放后的持续图在vague度量下几乎必然收敛于一个确定性Radon测度。若 $r_n$ 衰减更快使得 $n^{k+2}r_n^{d(k+1)} \to c\in (0,\infty)$，则持续图在无归一化下弱收敛于一个极限点过程。最后，若 $n^{k+2}r_n^{d(k+1)} \to 0$，则持续图的概率分布序列需归一化，所得收敛将在 $\mathcal M_0$-拓扑意义下处理。