关于几乎必然 $C^0$ 随机过程的持续同调

本文研究 $[0,t]$ 上几乎必然连续随机过程所产生的持续图的性质。我们聚焦于共同刻画条形码的两个变量：持续图中位于矩形 $]-\infty,x]\times [x+\varepsilon,\infty[$ 内的点数 $N^{x,x+\varepsilon}$，以及长度 $\geq \varepsilon$ 的条数 $N^\varepsilon$。对于具有强马尔可夫性质的过程，我们证明这两个变量均存在矩生成函数，特别地存在各阶矩。将注意力转向半鞅，我们给出当 $\varepsilon \to 0$ 时 $N^\varepsilon$ 与 $N^{x,x+\varepsilon}$ 的渐近行为，以及当 $\varepsilon \to \infty$ 时 $N^\varepsilon$ 的渐近行为。最后，我们研究条形码经典稳定性定理的后续影响，并以若干例子说明结果，最显著的是布朗运动以及收敛到布朗桥的经验函数。