泊松问题的离散外微积分近似收敛性

离散外微积分（DEC）是构造外微分微积分对象的离散版本的框架，广泛用于计算机图形学、计算拓扑以及Hodge-Laplace算子和其他相关偏微分方程的离散化。然而，一直缺乏对DEC严格的收敛性分析；据我们所知，迄今为止出现的唯一DEC收敛性证明是针对二维标量泊松问题的，并且基于将该离散化重新解释为有限元方法。此外，即使在二维中，文献中也报道了一些令人困惑的数值实验，显然表明存在无一致性的收敛。在本文中，我们开发了一个通用的独立框架，用于分析诸如DEC收敛性等问题，而不依赖其他离散化方法的理论，并通过建立超出二维泊松问题的DEC收敛结果来展示其有用性。即，我们证明任意维度中标量泊松问题的DEC解至少关于网格尺寸线性逐点收敛到精确解。我们通过各种数值实验说明了这些发现，实验表明当解足够正则时收敛实际上是二阶的。解释二阶收敛以及证明一般p-形式的收敛性问题仍然开放。