图的灰度对比

图 $G(V,E)$ 的灰度 $f$ 是从 $V$ 到区间 $[0,1]$ 的映射，满足 $\{0, 1\} \subseteq Im(f)$。该函数 $f$ 通过为每条边赋予其顶点上 $f$ 值的非负差值，在 $E$ 上诱导出另一个映射 $\widehat{f}$。对比向量 $cont(G,f)$ 定义为向量 $(\widehat{f}(e_1), \widehat{f}(e_2), \ldots, \widehat{f}(e_m))$，其中 $G$ 的所有边 $e_i$ 满足 $\widehat{f}(e_i) \leq \widehat{f}(e_{i+1})$，$i= 1, 2, \dots, m-1$。利用定义在 $G$ 上的所有可能灰度的对比向量集合中的字典序，本文提出了最大对比向量的概念，并将产生最大对比向量的灰度命名为最大对比灰度。本文建立了求图 $G$ 的最大对比向量与 $G$ 的色数之间的关系。因此，最大对比问题是一个 NP 完全问题。然而，任何图的最大对比灰度的值集均受限于一个给定的有限集。本文总结了在某种限制下计算最大对比向量的几种方法。