$L_{\infty}$ 代数的构造及其场论实现

我们针对由配备了不一定满足 Jacobi 恒等式的反对称括号的向量空间所给出的一般“初始数据”，构造了 $L_{\infty}$ 代数。我们证明，任何这样的括号都可以扩展为维数为其两倍的分级向量空间上的 2 项 $L_{\infty}$ 代数，其中 3 括号与 Jacobiator 相关。虽然这些 $L_{\infty}$ 代数总是存在的，但它们通常不能在场论中实现非平凡对称性。为了定义具有真实场论实现的 $L_{\infty}$ 代数，我们证明了一个更为一般的定理：如果 Jacobiator 的取值属于定义理想的任意线性映射的像，则存在一个带有一般非平凡 4 括号的 3 项 $L_{\infty}$ 代数。我们讨论了诸如八元数的换位子代数、其向“R-flux 代数”的收缩以及 Courant algebroid 等特例。