基于Lyapunov方法构建Hunt过程及其对广义Mehler半群的应用
概率论
2024-10-08 v1
摘要
本文致力于刻画对应于c\`adl\`ag Markov过程的广义Mehler半群，这是一个持续了十多年仍未解决的难题。我们的做法是将广义Mehler半群的c\`adl\`ag问题视为更广泛的从给定Markov半群构建Hunt过程问题的特例。在此策略下，本文的大部分工作都致力于证明：从状态空间上的任意Markov半群（可能非度量化）出发，若存在满足相对紧余/上集的合适Lyapunov函数，同时满足resolvent的局部Feller型正则性，则可确保存在关联的c\`adl\`ag Markov过程；若该拓扑由势函数局部生成，则该过程实际上是Hunt过程。还提出了其他精细的势论性质，一个重要结果是：Hunt过程的性质在拓扑变化下是稳定的，只要该拓扑由势函数局部生成。随后，我们推导了一大类广义Mehler半群的充分条件，以确保其拥有值于原空间的关联Hunt过程。为此，我们首先构造显式的Lyapunov函数，其子集在（非度量化）弱拓扑下相对紧，然后利用上述稳定性来推导出关于强范数拓扑下的Hunt性。我们将这些条件应用于其漂移为有界域D上的Dirichlet Laplacian，由非对角L\'evy噪声驱动的L2(D)上的随机热方程，其特征指数可能非Sazonov连续。
引用
@article{arxiv.2410.04861,
title = {Construction of Hunt processes by the Lyapunov method and applications to generalized Mehler semigroups},
author = {Lucian Beznea and Iulian Cîmpean and Michael Röckner},
journal= {arXiv preprint arXiv:2410.04861},
year = {2024}
}