算术 Teichmuller 空间的构造 II：迈向丢番图估计

本文讨论了 arXiv:2106.11452 中算术 Teichmuller 空间存在性的三个推论。令 $\mathscr{X}_{F,\mathbb{Q}_p}$（相应地 $B=B_{\mathbb{Q}_p}$）为 Fargues-Fontaine 由数据 $F={\mathbb{C}_p^\flat}$（$\mathbb{C}_p$ 的倾斜）、$E=\mathbb{Q}_p$ 构造的完备 Fargues-Fontaine 曲线（相应地环）。固定一个奇素数 $\ell$，令 $\ell^*=\frac{\ell-1}{2}$。构造（§7）了不可数子集 $\Sigma_{F}\subset \mathscr{X}_{F,\mathbb{Q}_p}^{\ell^*}$，其具有同时赋值缩放性质（定理 7.8.1）、Galois 作用及其他对称性。现固定一条在 $\mathbb{Q}_p$ 的有限扩张上的 Tate 椭圆曲线。$\Sigma_{F}$ 的存在性导致（§9）构造集合 $\widetilde{\Theta}\subset B^{\ell^*}$，它由所选 theta 函数在所选椭圆曲线上 $2\ell$ 阶挠点处取值（位于由 $\Sigma_{F}$ 提供的不同 untilt 中）的提升（到 $B$）组成。$\widetilde{\Theta}$ 的构造可轻易 adel 化。此外我还证明了 $\widetilde{\Theta}$ 大小的下界（定理 10.1.1）（此处大小由 $B$ 的 Fréchet 结构定义）。我还展示了（在 §11）[Joshi 2021] 理论中“对数链（log-links）”的存在性。