对 Casas-Alvero 猜想反例的约束及 12 次情形的验证

在本文的第一部分（理论部分），基于 Graf von Bothmer、Labs、Schicho 和 van de Woestijne 的思想（这些思想最近被 Draisma 和 de Jong 用 $p$-进赋值重新诠释），我们证明了一系列针对 Casas-Alvero 猜想假设反例的约束条件。在第二部分（计算部分），我们提出了改进 Diaz-Toca 和 Gonzalez-Vega 关于 Casas-Alvero 猜想的 Gröbner 基方法的思想。其中一个应用是将 Graf von Bothmer 等人的证明推广到 $5p^k$、$6p^k$ 和 $7p^k$ 的情形（即对于这些情形中的每一种，我们都详细列出了其证明不适用的有限素数 $p$ 列表）。最后，通过结合这两部分，我们解决了 12 次情形下的 Casas-Alvero 猜想（这是最小的未决情形）。