Casas-Alvero 猜想在 20 次三重复根情形

Casas-Alvero 猜想称，一个 n 次复一元多项式若与它的每个导数共享一个根，则必只有一个根。在本文中我们给出三个结果。第一个是，正规形下次数为 $p^r+p^s$ 或 $p^r+2p^s$ 的可能反例数量是有限的（$p$ 为素数，$r,s$ 为正整数）。第二个结果是，正规形下次数为 $p^r+1$ 的可能反例具有代数系数，最后一个结果是，在 20 次时不存在具有三个重复根的反例。