关于Casas-Alvero猜想的一个有限性结果

Casas-Alvero猜想预测：在特征为零的代数闭域上，每个与其每个Hasse-Schmidt导数共享公因子的单变量多项式都是线性多项式的幂。固定次数的多项式猜想等价于此类多项式的射影簇是一维的。在本文中，我们证明：对于任意特征的代数闭域，该簇对于所有正次数至多是二维的。因此，我们证明：任何正次数下的相关算术Casas-Alvero概形在任何域上只有有限个有理点。在此过程中，我们证明了几个关于该猜想的刚性结果。我们还引入了中间算术Casas-Alvero概形，并证明它们的$\mathbb{K}$点在任意代数闭域$\mathbb{K}$上形成几乎完全交。此外，我们考虑了它们何时形成完全交的问题。