首一整数超越直径连续性的推论

我们考虑确定长度小于 4 的实数区间 $I$ 的首一整数超越直径的问题。我们证明 $t_M([0,x])$ 作为 $x>0$ 的函数是连续的，从而否定了 Hare 和 Smyth 提出的两个猜想。因此，对于 $n>2\in\naturals$，我们定义量 b_{\max}(n)&=&\sup_{b>\frac{1}{n}}\left\{b|t_M([0,b])=\tfrac{1}{n}\right.\right\} 并给出 $b_{\max}(n)$ 的下界和上界。最后，我们改进了 $3\leq n\leq 8$ 时 $b_{\max}(n)$ 的下界。