连续映射的纤维直径

我们给出了一个出奇简短的证明：对于任意连续映射 $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$，若 $n>m$，则其纤维的直径没有上界。此外，我们证明当 $m=1$ 时，$f$ 的小纤维的并集是有界的；而当 $m>1$ 时，小纤维的并集未必有界。数据分析方面的应用也被考虑。