基于乌雷松宽度的映射腰测度

我们讨论如下类型的一些问题：对于从紧度量空间到单纯复形的连续映射 $X \to Y$，能否保证存在在乌雷松宽度意义下较大的纤维？$d$-宽度衡量一个空间能被 $d$ 维复形逼近的程度。本文的结果包括如下内容。1) 任何从单位欧氏 $(m+2)$-立方体到 $m$-多面体的分段线性映射 $f: [0,1]^{m+2} \to Y^m$ 必有一纤维的 $1$-宽度至少为 $\frac{1}{2\beta m +m^2 + m + 1}$，其中 $\beta = \sup_y \text{ rk } H_1(f^{-1}(y))$ 度量该映射的拓扑复杂度。2) 存在一个分段光滑映射 $X^{3m+1} \to \mathbb{R}^m$，其中 $X$ 是具大 $3m$-宽度的黎曼 $(3m+1)$-流形，且所有纤维均为任意小 $(m+1)$-宽度的拓扑 $(2m+1)$-球。