$SL(n,R)$ 商空间中的连通阻断

设 $G$ 为连通 Lie 群，$\Gamma \subset G$ 为格。齐性空间 $M=G/\Gamma$ 的连通曲线是 $G$ 的单参数子群的轨道。\textit{阻断}一对点 $m_1,m_2 \in M$ 是指寻找一个\textit{有限}集 $B \subset M\setminus \{m_1, m_2 \}$，使得每条连接 $m_1$ 与 $m_2$ 的连通曲线均与 $B$ 相交。如果 $M$ 中的每一对点都能被阻断，则称齐性空间 $M$ 是\textit{可阻断的}。\par 在本文中，我们研究了 $M_n=SL(n,R)/\Gamma$ 的阻断性质，其中 $\Gamma=SL(n,Z)$ 为整数格。我们重点关注 $M_2$，证明可阻断点对集是 $M_2 \times M_2$ 的稠密子集，并由此得出流形 $M_n$ 是不可阻断的结论。最后，我们回顾了 $SL(2,R)$ 的四元数结构以及在此背景下构造余紧格的方法。我们证明所得到的商齐性空间不是有限可阻断的。