$Sol$ 商空间中的联络阻断

设 $G$ 为连通 Lie 群，$\Gamma \subset G$ 为格。齐性空间 $M=G/\Gamma$ 的联络曲线是 $G$ 的单参数子群的轨道。$block$ 一对点 $m_1,m_2 \in M$ 是指找到一个有限集 $B \subset M\setminus \{m_1, m_2 \}$，使得每条连接 $m_1$ 和 $m_2$ 的联络曲线都与 $B$ 相交。如果 $M$ 中的每对点都可以被阻断，则齐性空间 $M$ 是 $blockable$ 的，否则我们称之为 $non-blockable$ 的。$Sol$ 是一个重要的 Lie 群，也是八种齐性 Thurston 三维几何之一。它是一个与 $R^3$ 微分同胚的单模可解 Lie 群，连同左不变度量 $ds^2=e^{-2z}dx^2+e^{2z}dy^2+dz^2$ 包含了双曲平面的副本，这使得研究其几何性质更加有趣。在本文中，我们证明了 $Sol$ 的所有商空间都是不可阻断的。特别地，我们证明了对于任意格 $\Gamma \subset Sol$，不可阻断点对的集合是 $Sol/\Gamma \times Sol/\Gamma$ 的稠密子集。