代数扩张上整矩阵的共轭性

我们考虑整矩阵在 $\text{GL}_{n}(R)$ 中的元素作用下的共轭，其中 $R$ 为具有子环 $\mathbb{Z}$ 的某些环。我们注意到 Hasse 原理在矩阵共轭背景下不成立，因为对所有 $p$ 均为 $\text{GL}_{n}(\mathbb{Z}_p)$-共轭的矩阵未必是 $\text{GL}_{n}(\mathbb{Z})$-共轭的。由 Guralnick 的一个定理可知，整 $n \times n$ 矩阵对所有素数 $p$ 均为 $\text{GL}_{n}(\mathbb{Z}_p)$-共轭，当且仅当它们被某个 $\mathbb{Z}$ 的代数整数扩张 $E$ 中的元素在 $\text{GL}_{n}(E)$ 下共轭。我们研究寻找该扩张 $E$ 的问题。由于 Latimer 和 MacDuffee 描述的 $\mathbb{Z}$-共轭结果可推广到任意整环 $R$ 的 $R$-共轭情形，我们可将现有的 $\mathbb{Z}$-共轭算法适配到新背景。我们还提供了一种利用类域论主理想定理寻找 $E$ 的方法。我们在若干例子中说明了我们的方法。