有限交替群和对称群的词长统计量之间的同余关系

在最近的一篇论文中，Bacher 和 de la Harpe 研究了无限置换群的共轭增长级数及其与 $p(n)$（分拆函数）和 $p(n)_{\textbf{e}}$（广义分拆函数）的关系。他们证明了有限对称群和有限交替群的共轭增长级数的恒等式。群论也激发了对有限对称群和有限交替群之间同余关系的调查。利用分拆函数 $p(n)$ 的 Ramanujan 同余式和 Atkin 对 $k$ 色分拆函数 $p_{k}(n)$ 的推广，我们证明了这两个级数在模任意 5 和 7 的幂次下存在同余关系，并对此进行了系统描述。此外，我们证明了这种关系在模所有素数 $\ell\geq 5$ 的幂次下也存在。