实二次域的 Ankeny–Artin–Chowla 型同余关系

1951年，Ankeny、Artin 和 Chowla 发表了一篇简短的注记，其中包含四个涉及正无平方因子整数 $d\equiv 1 \bmod{4}$ 时 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 类数的同余关系。他们论文中出现的许多思想可以被视为现已发展成熟的分圆域理论的先驱。令人好奇的是，文献中很少关注 $d\equiv 2,3\bmod{4}$ 的情形。在本文中，我们表明，Ankeny、Artin 和 Chowla 所证明类型的同余关系可以被视为使用 Kubota–Leopoldt $p$-进 $L$-函数的更一般方法的一个特例。除了涉及 Bernoulli 数的经典同余关系外，我们通过将这些值与 $L_p(1, \chi)$ 的一个著名表达式相联系，推导出了涉及 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 中二次剩余与非剩余的同余关系。最后，我们讨论了所谓的复合 Ankeny–Artin–Chowla 猜想的已知反例，并将其与 $\mathbb{Q}$ 的特殊二面体扩张联系起来。